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海淀数学告诉我们如何区分数学上的大小数
发布时间:2020-04-16 浏览1207次


在数学上,不存在所谓的最大的数,也没有最小的数,因为数是无穷无尽的,可以无限变大和变小。我们很容易通过反证法来证明没有最大数,假如p是最大的数,那么,必然存在p+1>p,所以最大的数不存在。同理,也没有最小的数。


但如果要说有意义的最大数,数学家使用过一些超乎想象的大数,它们大到不可以思议的程度,大到都无法用普通方法来表示。其中最著名的一个例子莫过于由数学家葛立恒发现的葛立恒数。

葛立恒数源自于图论,它是一个极其巨大的自然数。为了表示这个数,需要用到高德纳箭号表示法:

以a和b都取3为例:

3↑3=3×3×3=27

在一个箭号的情况下,3↑3=3^3,这样看起来与指数相比并没有什么特别的。但如果再加一个箭号,这个数的大小将会剧增:

3↑↑3=3↑3↑3=3↑27=7625597484987

在两个箭号的情况下,3↑↑3=3^27,结果已经到万亿级别。如果再多一个箭号,这个数将会大到无法用普通的简便方法来表示:

3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑7625597484987=3^3^3^3……^3(共有3^27个3)

但葛立恒数还要远远大于3↑↑↑3。定义如下的式子:

g(n)=3↑^g(n-1)3

在这个式子中,g(1)=3↑↑↑↑3。每一层数都用于表示上一层的箭号数量,随着n的增加,g(n)的数值会以极快速度增大。当n=64时,g(64)为葛立恒数。

葛立恒数非常大,大到我们难以想象。试想一下,在半径为465亿光年(4.4×10^26米)的可观测宇宙中,每一个普朗克空间(4.2×10^-105立方米)中填入一个数,也根本无法写完葛立恒数,即便是上亿个可观测宇宙也完全不够写。

虽然我们无法完全写出葛立恒数,但数学家可以算出葛立恒数的最后500位:

除了葛立恒数之外,数学家还使用过比它大得多的数,比较著名的例子是TREE(3)。在TREE(3)面前,即便是葛立恒数也是小得跟0一样。如果宇宙的半径达到了葛立恒数那么大,也无法写完TREE(3)。
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